0

Дипломная РАБОТА

Элементы теории Галуа

Аннотация

Цель дипломной работы является получить первые сведений о строении полей, об их простейших подполях и расширениях. Основными задачами являются рассмотрение групп Галуа, формулировка основной теоремы Галуа и самостоятельное решение задач предложенными авторами учебников.

Структура данной работы такова:

Первый раздел отражает теоретические основы и особенности полей, алгебраические расширения, конечные расширения, алгебраическое замыкание, расширение Галуа;

Второй разделе посвящен детальному изучению групп Галуа и основной теоремы Галуа;

В третьем разделе рассмотрены приложения теории Галуа: решение уравнений в радикалах, построение с помощью циркуля и линейки, вычисление группы Галуа, так же приведены примеры по каждому из разделов и самостоятельно решены задачи, предложенные авторами учебников.

Работа выполнена печатным способом на 38 страницах с использованием 20 источников, содержит 15 теорем.

Введение. 2

1 Основные сведения о полях. 3

1.1 Расширения полей. 6

1.2 Алгебраическое замыкание. 11

1.3 Расширение Галуа. 13

2 Теория Галуа. 17

2.1 Группа Галуа. 17

2.2 Основная теорема Галуа. 22

3.1 Решение уравнений в радикалах. 26

3.2 Построения с помощью циркуля и линейки. 28

3.3 Вычисление группы Галуа. 31

Заключение. 37

Список литературы.. 38

Введение

Дипломная работа посвящена введению в один из самых красивых разделов математики - теорию Галуа.

Теория Галуа была разработана в начале 19 века для нахождения подполей алгебраических расширений. Сам Эварист Галуа писал, что он занимается анализом анализа. За прошедшее после создания время, теория Галуа, получила многочисленные приложения: построение с помощью циркуля и линейки; решение уравнений в радикалах; исследование вопроса о квадрируемости решений дифференциального уравнения и др.

Цель дипломной работы, изучить теорию Галуа и ее приложения. Для достижения поставленной цели необходимым решить следующие задачи: получить первые сведения о строении полей, об их простейших подполях и расширениях, а так же рассмотреть группы Галуа и основную теорему Галуа.

Самостоятельно решить задачи по теории Галуа. Так же привести примеры по соответствующим теоретическим сведениям.

1 Основные сведения о полях

Полем называется целостное кольцо с единичным элементом е не равным нулю, в котором каждый ненулевой элемент имеет обрат-ный. В поле все ненулевые элементы образуют абелеву группу по умножению, называемую мультипликативной группой поля.

Определение: Кольцом называется непустое множество R на котором определены две операции - сложение и умножение, удовлетворяющих свойствам:

  • Все элементы по сложению образуют абелеву группу с непустым элементом;
  • Умножение дистрибутивно относительно сложения (слева и справа) (a + b ) c = ac + cb , c (a + b )= ac + cb . Из однозначной разрешимости уравнения a + x = b следует, что дистрибутивность выполняется и относительно вычитания, умножение на нуль дает нуль: .

Типичный способ построения поля из целостного коль-ца — присоединение частных или нахождение кольца классов вычетов по максимальному идеалу .

Определение: Идеал I кольца A - это подмножество в A, являющееся подгруппой аддитивной группы A, такое, что AI ⊂ I, IA⊂ I .

Поле К не содержит идеалов, отличных от ну-левого и единичного (совпадающего с К). Дейст-вительно, пусть I — ненулевой идеал поля К. Тогда существует обратимый в К элемент а I. По определению идеала е = аа -1 I , и, следова-тельно, любой элемент поля К лежит в I.

  • Множество Q рациональных чисел является полем частных кольца Z целых чисел. Мультип-ликативная группа Q поля Q состоит из ненуле-вых рациональных чисел. Множество четных чисел образует кольцо 2 Z , поле частных которо-го в результате сокращения числителя и знаме-нателя на 2 тоже совпадает с полем Q. Анало-гично, множество рациональных чисел является полем частных любого кольца вида nZ для цело-го n .
  • Кольцо Z [ i ] = Z + Zi содержит Z , поэтому его поле частных К должно содержать всевоз-можные рациональные числа Q , а также мнимую

единицу i как дробь. Покажем, что К = Q(i) = Q + Qi. Действительно, частное = = +

имеет вид g + hi, где g, h — рациональные числа. Обратно, любое число вида g + hi с рациональ-ными g, h может быть представлено как частное элементов кольца Z[i]. Пусть g = , h = , где r, s, t, и Z. Тогда можно записать

g + hi = , где числитель и знаменатель являются элемента-ми кольца Z [ i ] . ■

Определение : Отображение φ: R R называется гомоморфизмом колец R и R’, если выполняется равенства φ(a + b ) = φ(a )+φ(b ) , φ(ab ) = φ(a ) φ(b ) для любых a , b .

Определение: Биективный гомоморфизм колец называется изоморфизмом колец .

Все гомоморфизмы полей инъективны (на-пример, гомоморфное вложение поля Q в поле R) или биективны (в противном случае в поле существовал бы собственный ненулевой идеал, что невозможно).

Если К — произвольное поле и его подмно-жество k тоже является полем, то k называется подполем поля К. Поскольку любое поле содер-жит не менее двух элементов (0 и е), каждый из которых единственный, то пересечение двух подполей поля К является полем. Очевидно, что пересечение любого числа подполей поля К вновь является полем.

Простым называется поле, не содержащее собственных подполей.

Теорема 1. Каждое поле содержит одно и только одно простое подполе.

Доказательство. Пересечение всех подпо-лей поля К является подполем, не имеющим соб-ственных подполей. Предположим, что сущест-вуют два различных простых подполя. В этом случае пересечение этих подполей было бы соб-ственным подполем в каждом из них. Следова-тельно, эти подполя— не простые. Противоре-чие доказывает теорему. ■

Теорема 2. Простое поле изоморфно кольцу Z/p Z, где — простое число, или полю Q рациональных чисел.

Доказательство. Пусть К — простое под-поле поля L. Поле К содержит нуль и единицу е и, следовательно, кратные единичного элемента пе = е + е + ... + е . Сложение и умножение этих кратных осуществляется по правилу пе + те =

=(п + т)е, (пе)(те) = = пте 2 = пте. Следователь-но, целочисленные кратные пе образуют комму-тативное кольцо Р. Отображение п —> пе задает гомоморфизм кольца Z на кольцо Р. По определению о гомоморфизмах колец Р = Z / I, где I — идеал, состоящий из тех целых чисел n, которые дают равенство пе = 0.

Кольцо Р целостное, так как поле К — цело-стное кольцо. Поэтому и Z/ I тоже целостное. Кроме того, идеал I не может быть единичным, так как иначе выполнялось бы 1 ∙ е = 0 . Следова-тельно, существуют только две возможности:

  • I = (р), где р — простое число. В этом случае р является наименьшим положительным числом, для которого ре = 0. Ядро гомоморфизма содержит целые числа, кратные р — это идеал (р) или, в другой записи, р Z . Поэтому

Р = Z /(р) = Z Z явля-ется полем. В этом случае простое поле изоморфно полю Z Z .

Простейшее простое поле состоит из двух элементов, 0 и 1. Таблица сложения и умножения имеет вид:

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0=1, 1 + 1 = 0,

0 ∙ 0 = 0,0 ∙ 1 = 0, 1∙ 0 = 0, 1 ∙ 1 = 1.

2) I = (0). Тогда гомоморфизм Z Р являет-ся изоморфизмом. Кратные пе все попарно раз-личны: если пе = 0, то п = 0. В этом случае коль-цо Р не является полем, так как Z не является полем. Простое поле К должно содержать не только элементы из Р , но и их частные. В этом случае целостные кольца Р и Z имеют изоморф-ные поля частных. Поэтому простое поле К изо-морфно полю Q рациональных чисел. ■

Таким образом, строение содержащегося в L простого поля К с точностью до изоморфизма определяется заданием простого числа р или числа 0, которые порождают идеал I, состоящий из целых чисел п со свойством пе = 0. Число п называется характеристикой поля L и обознача-ется char(L ). При этом char(L ) = char(K ).

Теорема 3. В полях характеристики р имеют место равенства

= а р + b р , (а - b ) р = а р - b р . (1)

Доказательство. По формуле бинома Нью-тона имеем

а р +( ) а р-1 b +…+( ) ab р-1 + b р .

Здесь все коэффициенты, кроме первого и по-следнего, делятся на р , так как числитель у них делится на р. Поскольку р — характеристика по-ля, то в рассматриваемом поле все эти слагаемые равны нулю, то есть

(а + b ) р = а р + b р .

Аналогично рассуждаем и в случае разности. Положим с = а + b . Тогда

а = с - b , с р = (с - b ) р + b р , (с - b ) р = с р - b р . ■

Если р — нечетное число, то число слагаемых в формуле бинома Ньютона четное и коэффици-ент при b р равен -1. Если р = 2, то коэффициент при b р равен 1. Отсюда заключаем, что в поле характеристики 2 выполняется равенство - 1 = 1 .

1.1 Расширения полей

Пусть К — подполе поля L . Тогда L называет-ся расширением поля К. Расширение L поля К будем обозначать L K . Рассмотрим строение расширения L .

Пусть L — расширение поля К, S — произ-вольное множество элементов из L . Существует поле, содержащее в себе (как в множестве) поле К и множество S (таким полем является, например, L ). Пересечение всех полей, содержащих К и S , является полем, причем наименьшим из полей, содержащих в себе К и S , и обозначается K (S ). Говорят, что K (S ) получается присоединением множества S к полю К. Имеет место включение

К K (S ) L .

Полю K (S ) принадлежат все элементы из К, все элементы из S , а также все элементы, полу-ченные при сложении, вычитании, умножении и делении этих элементов, то есть K (S ) состоит из всех рациональных комбинаций, где . (Отсюда следует, что множество S можно выбирать различными способами.) Эти рациональные комбинации могут быть записаны как рациональные функции, то есть как отноше-ния полиномов, где переменные— элементы множества S , а коэффициенты полиномов — элементы поля К.

Таким образом, для любого поля можно построить расширение.

Расширение, полученное присоединением од-ного элемента, называется простым .

1.1.1 Конечные расширения

Поле L называется конечным расширением поля К, если L является конечномерным вектор-ным пространством над К . При этом все элемен-ты из L являются линейными комбинациями ко-нечного множества элементов u 1 ,…, u n с коэф-фициентами из К. Число элементов базиса век-торного пространства называется степенью рас-ширения L над К и обозначается (L : K ).

Например, если к полю К присоединяется ко-рень α полинома р(х), deg(p )=n, то элементы α 0 = е, α , α 2 , ..., α n -1 образуют базис поля L над К и (L : K ) =п.

Теорема 4. Если поле К конечно над k и поле L конечно над К, то L конечно над k и (L : k ) = (L : K )(K : k ).

Доказательство. Пусть { u 1 ,…, u n } — базис L над К и { v 1 ,…, v n } — базис К над k . Тогда ка-ждый элемент из L можно представить в виде a 1 u 1 +…+ a n u n , где а i К, и каждый элемент из К можно представить в виде b 1 v 1 +…+ b m v m где bj k . Подстановка второго выражения в первое показывает, что каждый элемент поля L линейно зависит от тп элементов u i v j . Следовательно, число (L : k ) конечно. Элементы u i v j линейно неза-висимы над k , так как и i линейно независимы над К и v j линейно независимы над k . Следовательно,

(L : k ) = (L : K )(K : k ). ■

Следствие: Если поле К конечно над k и (К: k ) = п, поле L конечно над k и (L : k ) = тп, то L конечно над К и (L : K ) = т.

Элемент w L называется алгебраическим над К, если он удовлетворяет алгебраическому уравне-нию f (w ) = 0 с коэффициентами из К. Расширение L поля К называется алгебраическим над К , если каж-дый элемент поля L является алгебраическим над К.

Теорема 5. Каждое конечное расширение L поля К получается присоединением к К конечного числа алгебраических над К элементов. Каждое расширение, полученное присоединением конеч-ного числа алгебраических элементов, конечно.

Доказательство. Пусть поле L является ко-нечным расширением поля К, и степень расши-рения равна п. Пусть w L K . Тогда среди сте-пеней

w 0 =е, w , ..., w n не более n линейно неза-висимых. Значит, должно выполняться равенство а 0 + а 1 w + ... + a n w n = 0, при a i К, то есть каж-дый элемент поля L алгебраичен над К. Обратно, пусть w — алгебраический элемент степени r . Тогда элементы е, w , ...., w r -1 линейно независи-мы и образуют базис, то есть расширение явля-ется конечным. ■

1.1.2 Алгебраические расширения

Пусть K —подполе поля L . Элемент α из L называется алге-браическим над K , если в K существуют элементы а 0 ,…,а п (n≥1) не все равные 0 и такие, что

а 0 + а 1 α+ ... +а п α n = 0. (2)

Для алгебраического элемента α не равно нулю мы всегда можем найти такие элементы a i в предыдущем равенстве, что а 0 не равно нулю (сокращая на под-ходящую степень α).

Пусть X — переменная над K . Можно также сказать, что эле-мент α алгебраичен над K , если гомоморфизм K [ X ]→ L , тождественный на K и переводящий из X в α, имеет ненулевое ядро. В таком случае это ядро будет главным идеалом, порожденным одним многочленом р(Х), относительно которого мы можем предполагать, что его старший коэффициент равен 1. Имеет место изоморфизм

K [ X ]/(p (X ))≈ K [а], (3)

и так как кольцо K [ a ] целостное, то р(X) неприводим. Если р(Х) нормализован условием, что его старший коэффициент равен 1, то р(Х) однозначно определяется элементом α и будет называться не-приводимым многочленом элемента α над K . Иногда мы будем обо-значать его через Irr(α , K ,X).

Расширение Е поля K называется алгебраическим, если всякий элемент из Е алгебраичен над K .

Предложение 1. Всякое конечное расширение Е поля K алгебраично над K .

Доказательство. Пусть а Е, α≠ 0. Степени α

1, α, α 2 , ..., α n

не могут быть линейно независимы над K для всех целых положи-тельных п, иначе размерность Е над K была бы бесконечна. Линей-ное соотношение между этими степенями показывает, что элемент α алгебраичен над K .

Заметим, что утверждение, обратное предложению, не верно: существуют бесконечные алгебраические расширения. Позднее мы увидим, что подполе поля комплексных чисел, состоящее из всех чисел, алгебраических над Q, является бесконечным расширением Q. Если Е —расширение поля K , то мы обозначаем символом L K , размерность Е как векторного пространства над K . Будем называть (Е: K ) степенью Е над K . Она может быть бесконечной.

  • Пусть К= R . Для построения алгебраического рас-ширения присоединим к полю R корень неприво-димого над R квадратного полинома х 2 + 1 . Этот корень обычно обозначается через i и удовлетво-ряет уравнению i 2 =- 1 . Тогда элементы расши-ренного поля представляют собой комплексные числа а + bi , то есть полиномы от i с веществен-ными коэффициентами. Присоединение к полю R корня любого неприводимого полинома дает одно и то же поле С .
  • Пусть К = { 0, 1}. Построим алгебраическое расширение K (α ) сте-пени 4. Выберем неприводимый полином вида р(х) = х 4 + х + 1. Обозначим корень этого поли-нома через α . Тогда K (α ) = K [ α ] (p (α )). Циклическая группа, образованная элементом α , имеет вид: { α , α 2 , α 3 , α 4 = α + 1, α 2 + α , α 3 + α 2 , α 4 + α 3 = α 3 + α + 1, α 4 + α 2 + α = α 2 + 1, α 3 + α , α 4 + α 2 = = α 2 + α + 1, α 3 + α 2 + α , α 4 + α 3 + α 2 = α 3 + α 2 + α + 1, α 4 + α 3 + α 2 + α = = α 3 + α 2 + 1, α 4 + α 3 + α = α 3 + 1, α 4 + α = 1 }. Здесь все степени элемента α представлены классами вычетов по модулю р(α ). В частности,

α -1 = α 3 + 1. Действи-тельно, произведение α (α 3 + 1) дает единицу по модулю p (α ).

Степень неприводимого над К полинома р(х) с корнем α называется степенью элемента α . Если степень элемента α равна 1, то α является элемен-том поля К, то есть по существу расширения нет.

Назовем два расширения L и L " поля К изо-морфными (над К), если существует изоморфизм L L " , оставляющий неподвижными элементы поля К.

Простые алгебраические расширения можно строить и не прибегая к включающему K (α ) полю L . При этом алгебраическое расширение изоморфно кольцу классов вычетов K [ x ]/(р(х)). Следовательно, ал-гебраическое расширение однозначно определя-ется полиномом р(х).

1.2 Алгебраическое замыкание

Поле L называется алгебраически замкнутым, если каждый полином из L [ x ] раскладывается на линейные множители . Алгебраически замкнутое поле не допускает дальнейших алгебраических расширений. Поэтому можно говорить о макси-мальном алгебраическом расширении данного поля. Примером алгебраически замкнутого поля является поле С комплексных чисел.

Каждое поле К обладает единственным с точ-ностью до изоморфизма алгебраически замкну-тым алгебраическим расширением. Такое од-нозначно определенное алгебраическое расши-рение называется алгебраическим замыканием поля К.

Поле L называется алгебраически замкнутым, если всякий мно-гочлен из L [ X ] степени ≥ 1имеет в L корень.

Теорема 6. Для всякого поля K существует алгебраически замкнутое поле L , содержащее K в качестве подполя.

Доказательство. Сначала мы построим расширение Е 1 поля K , в котором всякий многочлен из K [X] степени ≥1 имеет корень. Можно действовать следующим образом, каждому много-члену f из K [X] степени ≥1 сопоставим символ X f . Пусть S—мно-жество всех таких символов X f (так что S находится в биективном соответствии с множеством многочленов из K [X] степени ≥1). Обра-зуем кольцо многочленов K [ S ]. Мы утверждаем, что идеал, поро-жденный всеми многочленами f (X f ) в K [ S ], не является единичным. Если бы это было не так, то существовала бы конечная комбинация элементов из нашего идеала, равная 1:

g 1 f 1 (X f )+…+ g n f n (X fn ) = 1, (4)

где g i K [ S ]. Для простоты будем писать X i вместо X fi . Много-члены g i включают в действительности только конечное число пере-менных, скажем Х i ,…,X N (где N n ). Наше соотношение тогда гласит:

Пусть F — конечное расширение, в котором каждый многочлен

f 1 ,…, f n имеет корень, скажем α i есть корень f i в F при i = 1,…, п. Положим α i = 0 при i > п. Подставив α i вместо X i в наше соотношение, мы получим 0=1 — противоречие.

Пусть M — максимальный идеал, содержащий идеал, порожден-ный всеми многочленами f (X f ) в K [ S ]. Тогда K [ S ]/ M — поле и мы имеем каноническое отображение

σ : K [ S ]→ K [ S ]/ M . (6)

Для всякого многочлена f K [ X ] степени ≥1 многочлен имеет корень в поле K [ S ]/ M , которое является расширением поля σ K .

По индукции мы можем построить такую последовательность полей

E 1 E 2 E 3 ... E n .., что каждый многочлен из Е п [ X ] степени ≥1 имеет корень в Е п+1 .

Пусть Е — объединение всех полей Е n , n = 1, 2,…Тогда Е , естественно, является полем, поскольку для любых х, у Е найдется номер n , такой, что х, у Е п, и мы можем взять произведение ху или сумму х+у в Е п. Эти операции, очевидно, не зависят от вы-бора того п , для которого х, у Е п, и определяют структуру поля на Е . Всякий многочлен из Е[X] имеет коэффициенты в некотором подполе Е п и, следовательно, обладает корнем в Е п+1 ,а тем самым и корнем в Е , что и требовалось доказать.

Следствие. Для всякого поля K существует расширение K , алгебраическое над K и алгебраически замкнутое.

Теорема 7. Пусть K — поле, Е—его алгебраическое расши-рение и

σ : K L вложение K в алгебраически замкнутое поле L . Тогда существует продолжение σ до вложения Е в L . Если Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над σ K , то любое такое продолжение σ будет изоморфизмом поля Е на L .

Доказательство. Пусть S — множество всех пар (F , τ ) , где F —подполе в Е, содержащее K , и τ — продолжение σ до вло-жения F в L . Мы пишем (F , τ)≤(F " ,τ") для таких пар (F , τ) и (F " , τ"), если

F F " и τ"| F = τ . Отметим, что множество S не пусто, оно содержит (K ,σ ), и индуктивно упорядочено: если {(F i , τ i )} линейно упорядоченное подмножество, то положим F = F i и опре-делим τ на F , положив его равным τ i на каждом F i . Тогда (F , τ) служит верхней гранью для этого линейно упорядоченного подмно-жества. Находим (К, λ)— максимальный эле-мент в S . Тогда λ есть продолжение σ , и мы утверждаем, что К=Е . В противном случае существует α Е, α К; в силу предыдущего вложение λ имеет продолжение на К (α) вопреки максимальности (К, λ). Таким образом, существует продолжение σ на Е. Мы обо-значаем это продолжение снова через σ .

Если Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над σ K , то σ Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над σ (Е), следовательно, L = σ E .

В качестве следствия получаем некую теорему единственности для «алгебраического замыкания» поля K .

Следствие. Пусть K — поле и Е, Е"—алгебраические рас-ширения над K . Предположим, что Е, Е" алгебраически замкнуты. Тогда существует изоморфизм

τ: E E " поля Е на Е", индуцирующий тождественное отображение на K .

1.3 Расширение Галуа

Расширения поля К, получаемые присоединением корней раз-личных неприводимых многочленов, могут оказаться изоморфными или, более общее, одно из них может изоморфно вкладываться в другое . Выяснить, когда это имеет место, не так просто. Изучением гомоморфизмов алгебраических расширений полей как раз и занимается теория Галуа.

Пусть L — конечное расширение степени п поля К. Автомор-физмы поля L над К образуют группу, которую мы обозначим через Aut α K L .

Пусть G Aut α K L — какая-то (конечная) группа автоморфизмов поля L над К. Обозначим через L G подполе G -инвариантных элементов поля L .

Определение: Расширение L поля К называется нормальным над полем К или расширением Галуа, если оно во-первых, алгебраично над К и, во-вторых, каждый неразложимый в К[x] многочлен g(x), обладающий в L хоть одним корнем α, разлагается в L[x] на линейные множители.

Если α - корень неразложимого в кольце К[x] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то α называется сепарабельным элементом над К или элементом первого рода над К. При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент α и неразложимый многочлен g(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочлен) второго рода.

Определение: Алгебраическое расширение L , все элементы которого сепарабельны над К, называется сепарабельным над К, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

Группа Aut α K L называется группой Галуа расшире-ния L и обозначается через Gal L/ K.

Обозначим через f” формальную производную многочлена f.

Предложение 2.3.1: Многочлен f К[х] сепарабелен тогда и только тогда, когда (f , f ") = 1.

Доказательство. Заметим, прежде всего, что наибольший общий делитель любых двух многочленов f , g ∊ К[х] может быть найден с помощью алгоритма Евклида и потому не изменяется при любом расширении поля К .

С другой стороны, если над каким-либо расширением L поля К многочлен f имеет кратный неприводимый множитель h, то h | f " в L[x] и, значит, (f ,f’)≠1 . В частности, это будет иметь место, если f имеет кратный корень в L .

Обратно, если (f , f " ) ≠ 1 , то какой-то неприводимый множитель h многочлена f над К делит f ’. Это возможно только в двух случаях: если h — кратный неприводимый множитель и если h" = 0. В первом случае многочлен f имеет кратный корень в некотором расширении поля К (в частности, если h линеен, то в самом поле К). Второй случай имеет место, только если charК=р> 0 и многочлен h имеет вид

h = а 0 + а 1 х р + а 2 х 2р + ... + а n х n р (а 0 ,...,а n К) (7)

Пусть L — расширение поля К, содержащее такие элементы b 0 , b 1 ,..., b т, что b K p = а к. Тогда в L[х]

h = (b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ... + b m x m ) p (8)

и, следовательно, в некотором расширении поля L многочлен h, а значит, и f , имеет кратный корень.

Следствие 1: Всякий неприводимый многочлен над полем ну-левой характеристики сепарабелен.

Следствие 2: Всякий неприводимый многочлен f над полем характеристики p /degf сепарабелен.

Следствие 3: Всякий неприводимый многочлен над конечным полем сепарабелен.

Доказательство. Пусть h — несепарабельный неприводи-мый многочлен над конечным полем К . Тогда он имеет вид (7). Так как К р = К, то существуют такие b 0 , b l: ..., b m ∊ К, что b K p = а к и, значит, h представляется в виде (8) уже в К[х], что противоречит его неприводимости.

Примером несепарабельного неприводимого многочлена может служить многочлен

x p - α=(x- α) p над полем pZ (α). (9)

Теорема 7. Пусть f К[х] — многочлен, все неприводимые множители которого сепарабельны. Тогда его поле разложения над К является расширением Галуа.

Доказательство. Заметим, что если L — поле разложения многочлена f ∊ К[х], то любой автоморфизм φ поля L над К сохраняет множество {φ 1 ,...,φ n } корней многочлена f , каким-то образом их перестав-ляя. Так как

L = K(φ 1 ,..., φ n ), то автоморфизм φ однозначно определяется той перестановкой, которую он осуществляет на мно-жестве корней. Тем самым группа Aut α K L изоморфно вкладывается в S n .

Пример 3. Как следует из формулы для решения квадратного уравнения, всякое квадратичное расширение поля К характеристи-ки не равной 2 имеет вид K(d), где d ∊ К⊂К 2 . Всякое такое расшире-ние является расширением Галуа. Его группа Галуа порождается автоморфизмом а + b d → а — b d (а , b ∊ К).

2 Теория Галуа

2.1 Группа Галуа

Теория Галуа занимается конечными сепарабельными расши-рениями поля К и, в частности, их изоморфизмами и автомор-физмами . В ней устанавливается связь между расширениями дан-ного поля К , содержащимися в фиксированном нормальном рас-ширении этого поля, и подгруппами некоторой специальной конечной группы. Благодаря этой теории оказывается возможным ответить на различные вопросы о разрешимости алгебраических уравнений.

Все тела, рассматриваемые в этой главе, считаются коммута-тивными. После К будет называться основным.

Если задано основное поле К , то каждое ко-нечное сепарабельное расширение L этого поля порождается некоторым «примитивным элементом» Ѳ: L = К(Ѳ). Расширение L имеет в некотором подходяще выбранном расшире-ний столько же изоморфизмов над К , т. е. изоморфизмов, оставляющих все элементы из К на месте, какова степень n рас-ширения L поля К . В качестве такого расширения P можно взять поле разложения многочлена f (х), корнем которого явля-ется элемент Ѳ. Такое поле разложения является наименьшим над К нормальным расширением, содержащим поле L , или, как мы еще будем говорить, P является нормальным расширением, соответствующим полю L . Изоморфизмы расширения К над К могут быть определены благодаря тому обстоятельству, что эле-мент Ѳ переводится ими в сопряженные элементы Ѳ 1 , ..., Ѳ n поля P . Каждый элемент φ(θ) = ∑ a λ θ λ (a λ ϵ К ) переходит тогда в φ(θ V ) = ∑ a λ θ λ V и поэтому вместо того, чтобы говорить об изоморфизме,

можно говорить о подстановке θ → θ V .

Необходимо, однако, обратить внимание на то, что элементы θ и θ V являются лишь вспомогательным средством, де-лающим более удобным представление изоморфизмов, и что понятие изоморфизма совершенно не зависит от того или иного вы-бора элемента θ.

Теорема 8. Если L — нормальное расширение, то все сопряженные поля К V ) совпадают с L .

Доказательство: Действительно, прежде всего, в этом случае все θ V cодержатся в К(θ) . Но К V ) эквивалентно К (θ) , а потому является нормальным. Следовательно, и наоборот, элемент θ содержится в каждом поле К V ).

Обратно: если L совпадает со всеми полями L (θ V ), то расши-рение L нормально.

Действительно, в этой ситуации расширение L равно полю разложения К (Ѳ 1 , ..., Ѳ n ) многочлена f (x ), а потому оно нор-мально.

Будем впредь считать, что L = К /θ — нормальное расширение. В этом случае изоморфизмы, переводящие L в сопряженное с ним поле К/ θ V , оказываются автоморфизмами поля L . Эти автоморфизмы поля L (оставляющие неподвижным каждый элемент из К ) составляют группу из n элементов, которая назы-вается группой Галуа поля L над полем К или относительно К . В наших последующих рассмотрениях эта группа играет главную роль. Будем обозначать ее через G . Порядок группы Галуа равен степени расширения п = (L : К ).

Когда в некоторых случаях речь заходит о группе Галуа ко-нечного сепарабельного расширения L ", не являющегося нормаль-ным, подразумевается группа Галуа соответствующего нормаль-ного расширения L ϶ L ".

Для отыскания автоморфизмов совсем нет необходимости искать примитивный элемент расширения L . Можно построить L путем нескольких последовательных присоединений: L = К (α 1 , ..., α m ), затем найти изоморфизмы поля К (α 1) , которые перево-дят α 1 в сопряженные с ним элементы, после этого продолжить полученные изоморфизмы до изоморфизмов поля К (α 1 , α 2) и т. д.

Важным частным случаем является такой, когда α 1 , ..., α m — это все корни некоторого уравнения f (x ) = 0, не имеющего крат-ных корней. Под группой уравнения f (x ) = 0 или многочлена f (x ) подразумевается группа Галуа поля разложения К(α 1 , ...,α m ) этого многочлена . Каждый автоморфизм над полем К переводит систему корней в себя, т. е. переставляет корни. Если такая пере-становка известна, то известен и автоморфизм, потому что если, например, α 1 , ..., α m переходят в ά1, ..., ά m , то каждый элемент из

К(α 1 , ... α m ) , как рациональная функция φ(α 1 , ...,α m ) , пе-реходит в соответствующую функцию φ (ά1, ..., ά m ) . Следовательно, группу уравнения можно рассматривать как группу некоторых подстановок корней. Именно эта группа подстановок будет всегда подразумеваться, когда речь зайдет о группе какого-либо урав-нения.

Пусть A — некоторое «промежуточное» поле: К A L . Каждый изоморфизм поля A над К , пере-водящий A в сопряженное с ним поле A " внутри L , можно про-должить до некоторого изоморфизма поля L , т. е. до некоторого элемента группы Галуа. Отсюда следует утверждение.

Два промежуточных поля A , A " сопряжены над К тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга некоторой подстановкой из группы Галуа.

Положим A = К(α) ; тогда точно так же получается утвержде-ние:

Два элемента α, α" поля L сопряжены друг с другом над К тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга неко-торой подстановкой из группы Галуа поля L .

Если уравнение f (x ) = 0 неразложимо, то все его корни со-пряжены, и наоборот. Следовательно,

Группа уравнения f (x ) = 0 транзитивна тогда и только тогда, когда уравнение неразложимо над основным полем.

Число различных сопряженных с α элементов поля L равно степени неразложимого уравнения, определяющего α . Если это число равно 1, то α является корнем линейного уравнения и поэтому содержится в К . Следовательно,

Теорема 9. Если элемент α поля L остается неподвижным при всех под-становках из группы Галуа поля L , т. е. переводится всеми под-становками в себя, то основное поле К содержит α .

Расширение L поля К называется абелевым, если его группа Галуа абелева, циклическим , если его группа Галуа циклична, и т. д. точно так же уравнение называется абелевым, циклическим, примитивным , если его группа Галуа абелева, циклическая или (как группа подстановок корней) примитивная.

Задача 1. Найти группу Галуа уравнения x 2 + px + q = 0 , если F, char F 2.

Решение: Пусть f (x ) = x 2 + px + q . Обозначим корни этого уравнения

Тогда F( ) = F( ) , (F(α ): F) = 2.

Минимальный многочлен x 2 + px + q не имеет кратных корней, char F 2. Следующее расширение F F (α ) - расширение Галуа, тогда группа автоморфизмов | Aut F F (x )|= 2 . Пусть Aut F F (α ) , .

Две возможности:

На множестве корней f (x ), задаются подстановкой.

3 а д а ч а 2. С помощью квадратных и кубических корней решить урав-нения

  • х 3 — 2 = 0,
  • х 4 — 5 х 2 + 6 = 0

и построить их группы Галуа.

  • Пусть f (x ) = х 3 — 2. Корни уравнения могут быть найдены по формуле Муавра.

Q()= Q() ⊂ R, многочлен х 2 — 2 не приводимый над Q

Минимальный многочлен х 3 — 2 ⇒ (K: Q)=(K: Q())(Q()= 3 2 = 9.

Базис расширения Q ⊂ K

Группа Aut Q K являются произведением двух циклических подгрупп порядка 3.

  • Пусть f (x )= х 4 — 5 х 2 + 6, f (x ) - неприводимый над Q многочлен.

x 2 = t, t 2 = 5t+6 ⇒ 5t+6=0 ⇒ t 1 =2, t 2 =3

корни f (x ) :

(Q(): Q)=2 ; (Q(): Q)=2

() 2 - 3 = 0 многочлен х 2 — 3 является минимальным многочлена

(Q(): Q)= (Q(): Q) (Q(: Q))= 2

Базисом Q() над Q являются числа: 1,

Q ⊂ (Q()) - расширение Галуа. Число элементов группы автоморфизмов |Aut Q Q() |= 4. Обозначим элементы |Aut Q Q() | тождественно(id ) Этим автоморфизмам соответствует следующие подстановки корней f (x ):

id =

2.2 Основная теорема Галуа

Теорема 10 :

  • Каждому промежуточному полю A , K A L , соответ-ствует некоторая подгруппа g группы Галуа G , а именно, сово-купность тех автоморфизмов из которые оставляют на месте все элементы из A .
  • Поле A определяется подгруппой g одно-значно; именно, поле A является совокупностью тех элементов из L , которые «выдерживают» все подстановки из g , т. е. оста-ются инвариантными при этих подстановках.
  • Для каждой подгруппы g группы G можно найти поле A , которое находится с подгруппой g в только что описанной связи.
  • Порядок под-группы g равен степени поля L над полем A ; индекс подгруппы g в группе G равен степени поля A над полем К .

Доказательство. Совокупность автоморфизмов поля L , оставляющих на месте каждый элемент из A , является группой Галуа поля L над A , т. е. некоторой группой. Тем самым дока-зано утверждение 1. Утверждение 2 следует из тео-ремы 9, примененной к L как расширению и A как основ-ному полю.

Пусть опять L = К (θ) и пусть g — заданная подгруппа группы G . Обозначим через A совокупность элементов из L , которые при всевозможных подстановках σ из g переходят в себя. Очевидно, множество A является полем, потому что если α иβ остаются неподвижными при подстановке σ, то неподвижными при этой подстановке будут и α + β , α - β, α β , и, в случае β≠0, α/β .

Далее, имеет место включение K A ∑. Группа Галуа поля L над полем A содержит подгруппу g , так как подстановки из g оставляют неподвижными элементы из A . Если бы группа Галуа поля L над A содержала больше элементов, чем входит в g , то степень (L : A ) была бы больше, чем порядок подгруппы g. Эта степень равна степени элемента θ над полем A , так как L =A ). Если σ 1 ..., σ h — подстановки из g , то θ является одним из кор-ней уравнения h - й степени

(х — σ 1 θ) (х — σ 2 θ) ... (х — σ h θ) = 0, (10)

коэффициенты которого остаются инвариантными при действии группы G , а потому принадлежат полю A . Следовательно, степень элемента θ над A не больше, чем порядок подгруппы g . Таким образом, остается лишь одна возможность: подгруппа g является в точности группой Галуа поля L над полем A . Тем самым утверждение 3 доказано.

Если n —порядок группы G , h —порядок подгруппы g и j — индекс этой подгруппы, то

n = (L : К ), h = (L: A ), n = h j, (L : К ) = (L : A ) (A: К ), (11)

откуда (A : К ) = j .

Утверждение 4 доказано.

Согласно только что доказанной теореме связь между под-группами g и промежуточными полями A является взаимно однозначным соответствием. Нахождение подгруппы g , когда известно A , и как найти A , когда известна подгруппа g . Предположим, что уже найдены сопря-женные с θ элементы θ 1 ,...,θ n , выраженные через θ : тогда у нас есть автоморфизмы θ → θ V , которые исчерпывают группу G . Если теперь задано подполе A = К(β 1 ,...,β k ) , где β 1 ,...,β k — известные выражения, зависящие от θ , то g состоит просто из тех подстановок группы G , которые оставляют инвариантными элементы β 1 ,...,β k , потому что такие подстановки оставляют инвариантными все рациональные функции от β 1 ,...,β k .

Обратно, если задана подгруппа g , то составим соответствую-щее произведение

(х — σ 1 θ) (х — σ 2 θ) ... (х — σ h θ) . (12)

Коэффициенты этого многочлена, согласно основной теореме, должны принадлежать полю A и даже порождать поле A , потому, что они порождают поле, относительно которого элемент θ, как корень уравнения (10), имеет степень h , а быть собственным расширением для A это поле не может. Следовательно, образую-щие поля A являются просто элементарными симметрическими функциями от σ 1 θ ,…, σ h θ .

Другой метод состоит в том, чтобы отыскивать элемент который при подстановках из g остается неподвижным, но ника-ких других подстановок из G не выдерживает. Тогда элемент x (θ) принадлежит полю A , но не принадлежит никакому собст-венному подполю поля A ; тем самым этот элемент порождает A .

С помощью основной теоремы теории Галуа получается пол-ное описание промежуточных между K и L полей, когда из-вестна группа Галуа. Число таких полей конечно, по-тому что конечная группа имеет лишь конечное число подгрупп. Об отношении включения между различными полями можно судить по соответствующим группам.

Теорема 11. Если A 1 — подполе поля A 2 , то группа g 1 , соответствующая полю A 1 , содержит группу соответствующую полю g 2 , и наоборот.

Доказательство. Пусть сначала A 1 ⊆ A 2 . Тогда каждая подстановка, оставляющая на месте элементы из A 2 , оставляет на месте и элементы из A 1 .

Определение: Нормальное расширение L поля K называется циклическим расширением, если его группа Галуа является циклической группой.

Задача 1. Если L — циклическое расширение поля К степени n , то для каждого делителя d числа п существует ровно одно промежуточное расшире-ние A степени d и два таких промежуточных поля содержатся друг в друге тогда и только тогда, когда степень одного из них делится на степень другого.

Решение. Циклическим называется расширение Галуа с циклической группой Галуа. По свойствам циклической группы для каждого d | n существует ровно одна подгруппа порядка d . Следовательно, согласно основной теореме теории Галуа, для каждого числа d делящего n существует ровно одно расширение порядка d .

Утверждение о том, что два таких расширения содержатся друг в друге тогда и только тогда, когда степень делит степень другого, также является следствием основной теоремы теории Галуа.

Задача 2. С помощью теории Галуа заново определить подполя в GF (2 6 ) .

Решение. Автоморфизм Фробелиуса α→α 2 порождает группу Галуа порядка 6 поля K. Циклическая группа порядка 6 имеет две подгруппы порядка 2 и 3. Им соответствуют подполя GF (2 3) и GF (2 2). Структура подполей имеет вид: GF(2 6)

GF(2)
3 Приложения теории Галуа

3.1 Решение уравнений в радикалах

Расширение Е поля F называется радикальным расширением, если существуют промежуточные поля F = В 0 , В 1 , В 2 , ..., B r = Е и

B i = B i -1 i ) , где каждый элемент α , — корень некоторого уравнения вида

-α i =0, α i ϵ B i -1 . Многочлен f(x) над полем F называется раз-решимым в радикалах, если его поле разложения лежит в некотором радикальном расширении. Мы предполагаем, если не оговорено против-ное, что характеристика основного поля равна нулю и что F содержит столько корней из единицы, сколько нам необходимо для справедливости наших дальнейших утверждений .

Заметим вначале, что любое радикальное расширение поля F все-гда можно продолжить до нормального радикального расширения над F. Действительно, В 1 — нормальное расширение поля В 0 , поскольку оно содержит не только α 1 но и εα 1 где ε — любой корень степени п 1 из едини-цы, откуда следует, что В 1 — поле разложения многочлена х п 1 — α 1 . Если f 1 (x)= , где принимает все значения в группе автоморфизмов поля В 1 над B 0 , то f 1 лежит в В 0 ; присоединяя последовательно корни уравнения), мы придем к расширению B 2 , нормальному над F. Продолжая действовать таким образом, мы придем к радикаль-ному расширению E , которое будет нормальным над F.

Определение: Конечную группу называют разрешимой, если существует такая последовательность вложенных групп { e }= G r G r -1 ⊂ …⊂ G 0 что G i - нормальная подгруппа в G i -1 и факторгруппа G i -1 / G i абелева (при i =1,…, r )

Определение: Пусть F содержит примитивный корень степени n из единицы. Любое поле разложения E многочлена

(x n - a 1 )(x n - a 2 ) …(x n - a r ) , где a i F при i =1,2,… r , будут называться куммеровым расширением поля F .

Теорема 12. Многочлен f (x ) разрешим в радикалах, если и только если его группа разрешима.

Предположим, что f(x) разрешим в радикалах. Пусть Е — нор-мальное радикальное расширение поля F , содержащее поле разло-жения В многочлена f(x). Обозначим через G группу поля Е над F. Поскольку для каждого i поле В i , является куммеровым расширением поля B i -1 , группа поля B i над B i -1 абелева. В последовательности групп G = ... = 1 каждая подгруппа нормальна в преды-дущей, поскольку — группа поля Е над

B i -1 , а B i — нормальное расширение группы B i -1 . Но / — группа поля B i над B i -1 и потому она абелева. Следовательно, G разрешима. С другой стороны, G B — нормальная подгруппа группы G , a G/G B — группа поля В над F и, тем самым, группа многочлена f(x). Группа G/G B является гомоморфным образом разрешимой группы G и потому сама разрешима.

Теперь предположим, что группа G многочлена f(x) разрешима, и пусть Е — его поле разложения. Пусть G = ... = 1 — последовательность групп с абелевыми присоединенными факторами. Обозначим через В i неподвижное поле для группы G i . Поскольку G i -1 — группа поля Е над B i -1 и G i — нормальная подгруппа группы G i -1 по-ле B i нормально над B i -1 и группа G i -1 /G i абелева. Таким образом, B i является куммеровым расширением поля B i -1 , а значит, оно является полем разложения многочлена вида (х п — α 1)(х п — α 2)... (х п — α s). По-следовательно строя поля разложения многочленов х п — α k , мы видим, что B i — радикальное расширение поля B i -1 , откуда следует, что и само Е является радикальным расширением.

Предположение, что F содержит корни из единицы, не является необходимым в доказанной теореме. Действительно, если мно-гочлен f(x) обладает разрешимой группой G , то мы можем присоединить к F примитивный корень степени п из единицы, где n , скажем, равно порядку группы G . Группа многочлена f(x), рассматриваемого как много-член над полем, по теореме о естественных иррациональностях явля-ется подгруппой G" группы G , и поэтому она разрешима. Таким образом, поле разложения многочлена f(x) над F" можно получить с помощью присоединения радикалов. Обратно, если поле разложения Е многочле-на f(x) над F можно получить с помощью присоединения радикалов, то, присоединяя подходящий корень из единицы, мы получим расширение Е" поля E , которое все еще нормально над F. Но поле Е" можно было бы получить также присоединяя сперва к полю F корень из единицы, а затем радикалы; сначала бы мы получили расширение F" поля F, а затем от F" перешли бы к Е" . Обозначая через G группу поля Е" над F и че-рез G" — группу поля Е" над F", мы видим, что группа G" разрешима и что G /G" — группа поля F" над F , а потому она абелева. Поэтому группа G разрешима. Факторгруппа G/G E является группой многочлена f(x) и, будучи гомоморфным образом разрешимой группы, сама разрешима .

3.2 Построения с помощью циркуля и линейки

Предположим, что на плоскости задано конечное число элементар-ных геометрических фигур, т. е. точек, прямых и окружностей. Наша задача — найти способ построения других фигур, удовлетворяющих не-которым условиям относительно фигур, заданных изначально.

Допустимыми операциями в таких конструкциях являются выбор произвольной точки, лежащей внутри заданной области, проведение прямой, проходящей через две точки, построение окружности с данным центром и радиусом и, наконец, построение точек пересечения пары прямых, окружностей или прямой и окружности .

Поскольку прямая или отрезок определяются двумя своими точками, а окружность — тремя своими точками или центром и одной точкой, построение циркулем и линейкой можно рассматривать как нахожде-ние точек, удовлетворяющих некоторым условиям, по другим заданным точкам.

Если нам даны две точки, то мы можем соединить их прямой, восстановить перпендикуляр к этой прямой в одной из данных точек и, принимая расстояние между некоторыми двумя точками за единицу, с помощью циркуля отложить любое целое расстояние n на прямой . Более того, применяя стандартный прием, мы можем проводить параллельные прямые и строить частное т/п . Используя пару прямых в качестве осей декартовой системы координат, с помощью циркуля и линейки мы можем построить все точки с рациональными координатами.

Если а, b , с, ... — числа, являющиеся координатами точек, которые определяют заданные фигуры, то можно построить сумму, произведение, разность и частное любой пары этих чисел. Итак, можно построить лю-бой элемент поля Q(a , b , с , ...), которое порождают эти числа над полем рациональных чисел.

Мы можем выбрать произвольную точку заданной области. Если построение циркулем и линейкой возможно, то мы всегда можем выбрать наши произвольные точки так, чтобы их координаты были рациональ-ны. Если соединить прямой две точки, координаты которых принадлежат полю Q(a , b , с, ...), то коэффициенты уравнения этой прямой будут при-надлежать Q(a , b , с, ...), и координаты точки пересечения двух таких прямых также будут принадлежать полю Q (a , b , с, ...). Если окруж-ность проходит через три точки с координатами из того же поля или ее центр и одна ее точка имеют координаты в поле Q(a , b , с, ...), то уравне-ние самой окружности будет иметь коэффициенты в том же поле. Однако для определения координат точек пересечения двух таких окружностей или прямой и окружности требуется привлечение квадратных корней.

Отсюда следует, что если какую-нибудь точку можно построить с помощью циркуля и линейки, то ее координаты должны получаться из поля Q(a , b , с, ...) по формуле, содержащей лишь квадратные корни. Иными словами, координаты такой точки должны лежать в некотором поле вида, где каждое поле явля-ется полем разложения некоторого квадратного многочлена х 2 — над полем.

Если F , B , E - такие три поля, что F ⊂ B ⊂ E, то.

Отсюда следует, что ( / ) является сте-пенью числа 2, поскольку либо

Либо () = 2. Если х — координата построенной точки, то

( (х)/ E 1 )(E S / Е 1 (х)) = (E s / Е 1) = 2 v так что значение (Е 1 (х)/Е 1) также должно быть степенью двойки.

Обратно, если координаты какой-нибудь точки можно получить из Q(a , b , с, ... ) по формуле, использующей только квадратные корни, то такую точку можно построить с помощью циркуля и линейки. Действи-тельно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить сложение, вы-читание, умножение и деление, а если использовать равенство 1: r = r : r 1 , то можно осуществить и извлечение квадратного корня r = .

В качестве иллюстрации этих рассуждений докажем, что трисекция угла в 60° невозможна. Предположим, что мы провели окружность еди-ничного радиуса с центром в вершине угла. Введем координатную систе-му таким образом, чтобы ось абсцисс совпадала с одной из сторон угла, а начало координат совпадало с вершиной угла.

Трисекция угла была бы эквивалентна построению точки с коор-динатами (cos20°, sin20°) на единичной окружности. Из уравнения cos =4cos 3 —3cos следует, что абсцисса такой точки удовлетво-ряет уравнению 4х 3 — Зх= 1/2. Можно легко проверить, что у этого уравнения нет рациональных корней, поэтому оно неприводимо над полем рациональных чисел. Но поскольку мы предположили, что нам даны только прямая и отрезок единичной длины, и поскольку построение угла в 60° возможно, то поле

Q(a , b , с, ...) можно считать изоморфным полю Q рациональных чисел. Однако корень неприводимого уравнения 8x 3 6x — 1=0 обладает тем свойством, что (Q()/Q) = 3, и степень этого расширения не является степенью двойки.

3.3 Вычисление группы Галуа

Один из методов, с помощью которого можно построить группу Галуа уравнения f (x ) = 0 над полем A , состоит в следующем .

Пусть, ..., — корни уравнения. Построим с помощью переменных выражение

применим к нему всевозможные подстановки s u переменных и составим произведение

F (z , u ) = (14)

Очевидно, это произведение является симметрической функцией корней и поэтому, может быть выражено через коэффициенты многочлена f (x ). Разложим многочлен F (z , и) на неразложимые множители в кольце A z ]:

F (z , u ) = F 1 (z , u ) F 2 (z , u .) ... F r (z , и). (15)

Теорема 13. Постановки, которые переводят в себя некоторый сомножитель, скажем, сомножитель F 1 составляют группу ɡ . Мы утверждаем, что группа ɡ —это в точности группа Галуа заданного уравнения.

Доказательство. После присоединения всех корней многочлен F , а потому и многочлен F 1 разлагаются на линейные множители вида z —∑ u v α v , коэффициентами которых служат корни α v , расположенные в некотором порядке. Перенумеруем корни так, чтобы F 1 содержал множитель

В последующем символ s u будет обозначать подстановку симво-лов и, а s α — такую же подстановку символов α . Очевидно, что в таких обо-значениях подстановка s u s α оставляет выражение θ = . инвариантным, т. е.

s u s α θ = θ ,

s α θ = θ.

Если подстановка s u принадлежит группе ɡ , т. е. оставляет инвариантным многочлен F 1 , то s u переводит каждый множитель многочлена F 1 в частности z , вновь в некоторый линейный множитель многочлена F 1 . Обратно, если некоторая подстановка s u переводит множитель z в другой линейный мно-житель многочлена F 1 , то она переводит F 1 в некоторый неразложимый в кольце A [и, z ] многочлен, являющийся делителем многочлена F (z , и), т. е. в один из многочленов Fj и притом в такой, у которого есть общий линей-ный множитель с F 1 ; это означает, что F 1 , переводится в себя. Следовательно, подстановка s u принадлежит группе ɡ . Таким образом, группа ɡ состоит из подстановок символов и , которые переводят z — θ в линейный множитель мно-гочлена F 1 .

Подстановки s α из группы Галуа многочлена f (x ) — это такие подстановки символов α , которые переводят выражение

в сопряженные с ним и для которых, следовательно, элемент s α θ удовлетво-ряет тому же неразложимому уравнению, что и θ, т. е. это такие подста-новки s α , которые переводят линейный множитель z — θ в другой линейный множитель многочлена F 1 . Так как s α θ = θ, то подстановка также пере-водит линейный множитель z в линейный множитель многочлена F 1 т. е. , а потому и s u , принадлежит группе ɡ . Верно и обратное утверждение. Следовательно, группа Галуа состоит из тех и только тех подстановок, кото-рые входят в группу ɡ , нужно только символы α заменить на символы и.

Этот метод определения группы Галуа интересен не столько практически, сколько теоретически; из него получается чисто теоретическое следствие, кото-рое звучит так:

Пусть ß — целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначном разложении на простые множители. Пусть ν — простой идеал в ß и = ß / p —кольцо классов вычетов. Пусть A и — поля частных колец ß и. Наконец, пусть f (х) = +… - многочлен из ß [х] , a (x ) получается из f (х) при гомоморфизме ß , причем оба многочлена не имеют кратных корней. Тогда группа уравнения = 0 над полем (как группа подстановок подходящим образом перенумерованных корней) является подгруппой группы g уравнения f = 0 .

Доказательство Разложение многочлена

F (z , u ) = (17)

на неразложимые множители F 1 , F 2 ,…F k в кольце A [ z , и], осуществляется уже в ß [ z , и], и поэтому его можно перенести с помощью естественного гомоморфизма на [ z , и]:

F (z , u ) = 1 , 2 ,… k . (18)

Множители 1 возможно, окажутся разложимыми дальше. Подстановки из группы переводят F 1 , а потому и 1 в себя, а остальные подста-новки символов и переводят 1 в 2 ,…, k .

Теорема 14. Подстановки из группы пере-водят любой неразложимый множитель многочлена 1 в себя; поэтому они не могут переводить 1 в 2 ,…, k : обязательно 1 переводится в себя, т. е. — некоторая подгруппа группы.

Эта теорема часто используется для нахождения группы. При этом идеал ν выбирают так, чтобы многочлен f (х) был разложим по модулю ν , потому что тогда легче определить группу уравнения. Пусть, например, β — кольцо целых чисел и ν = (р), где р — простое число. Тогда по модулю р многочлен f (х) представляется в виде

f (х) φ 1 (x ) φ 2 (x ) … φ h (x ) (p ) (20)

Следовательно, f 1 2 h

Группа многочлена (х) циклична, так как группа автоморфизмов поля Галуа обязательно циклична. Пусть s — подстановка, порождающая группу и представляющаяся в виде циклов следующим образом:

(1 2 ... j )(j +1 ...) ... (21)

Так как области транзитивности группы соответствуют неразложимым мно-жителям многочлена f , то символы, входящие в циклы (1 2 ... j )(...).., должны находиться в точном соответствии с корнями многочленов 1 , 2 ,... Как только оказываются известными степенями j , k , ... многочленов s , оказывается известным и тип подстановки: подстановка состоит тогда из одного j -членного цикла, одного k - членного цикла и т. д. Так как в соответствии с приведенной выше теоремой при подходящей нумерации корней группа оказывается подгруппой группы, группа должна содержать подстановку такого же типа.

Так, например, если целочисленные уравнения пятой степени по модулю какого-либо простого числа распадается в произведение неразложимого множителя второй степени и неразложимого множителя третьей степени, то группа Галуа обязана содержать подстановку типа (1 2) (3 4 5) .

Пример1. Пусть дано целочисленное уравнение

х 5 — х — 1 =0.

Решение: По модулю 2 левая часть разлагается в произведение

(х 2 + х + 1 ) (х 3 + х 2 + 1 ),

а по модулю 3 она неразложима, потому что иначе у нее был бы множитель первой или второй степени, а потому и общий множитель с х 9 — х ; последнее означает наличие общего множителя либо с х 5 — х, либо с х 5 — х , что, очевидно, невозможно. Тем самым группа заданного уравнения содержит один пятичленный цикл и произведение (i k ) (l т п). Третья степень последней подстановки равна (i k ), а эта последняя, трансформированная с помощью подстановки (1 2 3 4 5) и ее степеней, дает цепь транспозиций

(i k ), (k р), (р q ), (q r ), (r i ), которые все вместе порождают симметрическую группу. Следовательно, — симметрическая группа.

С помощью установленных фактов можно построить уравнение произволь-ной степени с симметрической группой; основанием служит следующая теорема:

Теорема 15. Транзитивная группа подстановок n -й степени, содержащая один двойной цикл и один (n —1 ) - членный цикл, является симметрической.

Доказательство. Пусть (1 2 ... п— 1 ) — данный (п — 1)- членный цикл. Двойной цикл (i j ) в силу транзитивности можно перевести в цикл (k n ), где k - один из символов от 1 до п —1. Трансформирование цикла (k п) с помощью цикла (1 2 ... n 1 ) и степеней последнего дает циклы

(1 n ),(2 n ),..., (n —1 n ), а они порождают всю симметрическую группу.

Чтобы на основании этой теоремы построить уравнение п-й степени (п> 3) с симметрической группой, выберем сначала неразложимый по модулю 2 многочлен n -й степени f 1 , а затем многочлен f 2 , который по модулю 3 разлагается в произведение неразложимого многочлена (n —1)- й степени и линейного мно-гочлена, и, наконец, выберем многочлен f 3 степени п, который по модулю 5 разлагается в произведение квадратного множителя и одного или двух множи-телей нечетных степеней (все они должны быть неразложимыми по модулю 5). Все это возможно, потому что по модулю любого простого числа существует неразложимый многочлен любой наперед заданной степени .

В заключение выберем многочлен f так, чтобы выполнялись условия:

f f 1 (mod 2),

f f 2 (mod 3),

f f 3 (mod 5);

сделать это всегда возможно. Достаточно, например, положить

f = - 15 f 1 + 10 f 2 + 6 f 3

Группа Галуа будет тогда транзитивной (так как многочлен неразложим по модулю 2) и будет содержать цикл типа (1 2 ... n — 1 ) и двойной цикл, умно-женный на циклы нечетного порядка. Если это последнее произведение воз-вести в нечетную степень, подходящим образом подобранную, то получится чистый двойной цикл. Согласно приведенной выше теореме группа Галуа будет симметрической.

С помощью этого метода можно доказать не только существование уравне-ний с симметрической группой Галуа, но и нечто большее: именно, асимпто-тически все целочисленные уравнения, коэффициенты которых не превосходят границу N , стремящуюся к, имеют симметрическую группу.

Заключение

Изучение элементов теории поля полезно для студентов, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

Целью дипломной работы было изучение теории Галуа и ее приложений. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: получены первые сведения о строении полей, об их простейших подполях и расширениях, а так же рассмотрены группы Галуа и основная теорема Галуа.

В работе были самостоятельно решены задачи по теории Галуа. Так же были приведены интересные примеры по соответствующим теоретическим сведениям.

Список литературы

  1. Артин Э. Теория Галуа / Пер. с англ. Самохина А. В. - М.: МЦНМО, 2004, 66с.
  2. Бурбаки Н.. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.:Наука, 1965.
  3. Ван дер Варден (van der Waerden В.). - Math, Ann., 1931, 109, S 13.
  4. Винберг Э. Б. Курс алгебры 2-е издание

5. Винберг Э.Б. Курс алгебры. Изд. 3-е, перераб. и доп.-М.: Факториал Пресс, 2002.

6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.-Изд. 7-е.-М.: Университет, 2007.

7. Городенцев А.Л. Лекции по линейной алгебре. Второй курс.-М.: НМУ МК, 1995

8. Городенцев А.Л. Лекции по алгебре. Второй курс.-М.: НМУ МК, 1993

9. Дуров Н. Метод вычисления групп Галуа многочлена с рациональными коэффициентами. 2005.

10. Кострикина А.И. Сборник задач по алгебре/Под ред.- М.: Физматлит. 2001.

11. Куликов Л.Я.. Алгебра и теория чисел.-М.:Высшая школа, 1979.

12. Курош А.Г.. Курс высшей алгебры.- М.:Высшая школа, 1971.

13. Любецкий В.А.. Основные понятия школьной математики.М.:Просвещение, 1987.

14. Ленг С. Алгебра - M.:Мир, 1968.







Теория Галуа - раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению классических задач:
Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов). В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий.

Лекции читает Алексей Владимирович Савватеев, доктор физико-математических наук, специалист в области теории игр, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доцент ИГУ, популяризатор математики среди детей и взрослых. Работает одновременно в нескольких научных учреждениях, в том числе в Лаборатории исследования социальных отношений и многообразия общества РЭШ. Читает в Яндексе лекции в Школе Анализа Данных, участвует в теоретических исследованиях.

Комментарии: 0

    Тони Ротман

    Scientific American

    В семнадцать лет Галуа многое сделал для создания раздела математики, который ныне даёт возможность проникнуть в сущность таких различных областей, как теория чисел, кристаллография, физика элементарных частиц и возможные позиции кубика Рубика. Известно и то, что в том же возрасте Галуа вторично провалился на экзамене по математике при поступлении в Эколь Политекник (Политехнический институт). Ему пришлось поступить в Эколь Нормаль (Высшую педагогическую школу), но в девятнадцать лет он был оттуда исключён, дважды арестован и заключён в тюрьму за политическую деятельность. Незадолго до дуэли он пережил разочарование в любви; в одном из своих последних писем он, по-видимому, связывает это с дуэлью. «Я умираю, - писал он, - жертвой подлой кокетки».

    Алексей Савватеев, Алексей Семихатов

    Вопрос науки

    Зачем математики придумывают всё новые неразрешимые задачи? Зачем нужна современная математика? Среди ученых нет ни одного, кто разбирался бы во всех областях современных математических наук. А математики придумывают все новые и новые неразрешимые задачи, и потом десятилетиями бьются над ними. Зачем все это? И какое отношение математика имеет к нашей жизни? Гость программы доктор физико-математических наук Алексей Савватеев. Беседует Алексей Семихатов.

    И целые числа, и многочлены (от одной переменной с коэффициентами в Q, R или Z/pZ) можно делить с остатком. Эта и подобные аналогии в структуре целых чисел и многочленов играли и продолжают играть важную роль в математике, особенно в теории чисел. В этом курсе мы исследуем такие аналогии в контексте теории чисел: на примере непрерывных дробей, уравнения Пелля, квадратичных вычетов, и abc-гипотезы. От слушателей требуется знакомство с пределами и арифметикой вычетов.

    Георгий Шабат

    Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики. 1. О геометрии над конечными полями. 2. Группы Шевалле и группы перестановок. 3. Линейная алгебра над F1 и гомотопическая топология. 4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и F∅, F±1, F∞√1. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.

    Алексей Савватеев

    В миникурсе ликвидируются пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы. Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах - простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) - нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).

    Аркадий Скопенков

    Предлагаются наброски элементарных доказательств: теоремы Гаусса о построимости правильных многоугольников; теоремы о неразрешимости уравнений в вещественных радикалах; теорем Руффини-Абеля и Галуа о неразрешимости уравнений в комплексных радикалах. Приводимые доказательства не используют термина «группа Галуа» (даже термина «группа»). Несмотря на отсутствие этого термина, идеи приводимых доказательств являются отправными для теории Галуа (которая вместе с теорией групп развилась из опыта группировки корней многочлена, с помощью которой их можно выразить через радикалы). Приводимые идеи являются отправными также для конструктивной теории Галуа, активно развивающейся в настоящее время.

    Алексей Савватеев

    Геометрия - классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая - не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.

    Роман Федоров

    Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом ζ(s) = ∑ 1/n^s при тех значениях s, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана - так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению x=0).

«Одна из задач, над которой работал Эварист Галуа, привлекала внимание математиков в течение долгого времени. Это задача о решении алгебраических уравнений.

Каждому, из нас ещё на школьной скамье приходилось решать уравнения первой и второй степени. Решить уравнение - это значит найти, чему равны его корни. Уже в случае уравнений третьей степени это совсем не так просто. Галуа же изучал самый общий случай уравнения произвольной степени. Каждый из нас может взять лист бумаги, записать такое общее уравнение и обозначить его корни какими-нибудь буквами. Однако эти корни, разумеется, являются неизвестными.

Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т.е. установил некоторые из «свойств» этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его «группу», или, образно говоря, его «семью».

Понятие группы возникло незадолго до работ Галуа. Но в его время оно существовало как тело, лишённое души, как одно из множества искусственно выдуманных понятий, время от времени возникающих в математике. Революционность того, что сделал Галуа, заключалась не только в том, что он вдохнул в эту теорию жизнь, что его гений придал ей необходимую законченность; Галуа показал плодотворность этой теории, применив её к конкретной задаче о решении алгебраических уравнений. Именно поэтому Эварист Галуа является истинным создателем теории групп.

Группа - это совокупность предметов, имеющих определённые общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве «предметов» могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение.

Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве «предметов» выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы.

Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы «предметов» ни состояла группа: из чисел, движений или операций, - все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность «предметов» можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик всё более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе.

«Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц», - так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Если бы у его судей хватило гражданского мужества, мы простили бы им недостаток проницательности: идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было учёному.

Множество умов упорно пыталось определить, в чём состоит гениальность. Попытки оказались тщетными, потому что это качество рассматривалось как некое метафизическое явление независимо от обстоятельств, в каких оно проявлялось. На самом же деле гениальность Паскаля , например, не в том, что он мог в двенадцать лет воспроизвести первые тридцать два предложения Евклида , и даже не в том, что после знакомства с Дезаргом он написал работу о конических сечениях. Гениальность Паскаля в том, что он открыл новые, неизвестные раньше связи между различными разделами науки: «Пусть не говорят, что я не сделал ничего нового. Новое - в расположении материала. Когда двое играют в лапту, оба пользуются одним и тем же мячом. Но один из них находит для него лучшее положение». (Паскаль. Предисловие к «Мыслям»). Настоящий исследователь открывает в первую очередь не новые объекты, а новые связи между ними.

Пока нет необходимости, гений молчит. Эту мысль легко подтвердить, стоит только распространить на ученых то, что говорят обычно о государственных деятелях, когда хотят показать, чем они отличаются от людей, вообще занимающихся политикой. Государственный деятель первым замечает изменения, возникшие в соотношении мировых сил; он первым осознает необходимость реагировать на происходящее и в соответствии с этим выбирает для своих действий ту или иную форму. То же самое и в науке. Гениальность ученого проявляется тогда, когда возникает необходимость в каких-то коренных изменениях. Процесс развития человеческих знаний происходит неравномерно. Иногда в той или иной области движение вперед временно прерывается. Наука дремлет в оцепенении. Учёные занимаются мелочами, за красивыми вычислениями скрываются убогие мысли. В начале XIX века алгебраические преобразования так усложнились, что практически движение вперёд оказалось невозможным.

Аппарат, придуманный Декартом и усовершенствованный его последователями, убил то, во имя чего он был создан. Математики перестали «видеть». Даже Лагранж оказался не в состоянии сдвинуть с мертвой точки задачу о решении алгебраических уравнений (это удалось сделать Галуа). Бессилие Лагранжа - яркий пример упадка, переживаемого в то время алгеброй. Настал момент, когда необходимо было найти новые пути. Этот момент определил отнюдь не случай, его вызвала к жизни необходимость. И отличительная черта гения в том, чтобы уловить эту необходимость и немедленно на нее откликнуться.

«В математике, как в любой другой науке, - писал Галуа, - есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания». История человеческих знаний сохранила имена ученых, сумевших благодаря особой пытливости ума вовремя почувствовать неотложность решительных изменений и указать на это своим современникам. Наука высоко чтит и тех, кто осуществил необходимые перемены. Иногда, хотя и редко, одному человеку удавалось сделать и то и другое. Таким человеком был Лавуазье , таким был и Эварист Галуа.

Имя Лавуазье названо здесь не случайно. Во второй половине XVIII века развитие химии приостановилось. Талантливых химиков было по-прежнему достаточно техника химического эксперимента достигла такого совершенства, что многие достижения того времени используются до сих пор, - а наука стояла на месте. Лавуазье прежде всего обратил внимание на отсутствие ясности и единообразия в терминологии. При той путанице определений и понятий, которая царила в работах по химии, движение вперед было просто невозможно. С работ Лавуазье в химии началась пора расцвета.

В каком-то смысле Галуа сделал в математике то же, что Лавуазье в химии. Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности. «Здесь я занимаюсь анализом анализа». Эта мысль Галуа выражает его стремление внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп - это прежде всего наведение порядка в математическом языке.

«Новые расположения» Паскаля , «номенклатура» Лавуазье , «группы» Галуа - все эти замечательные открытия снова и снова показывают, какую роль играет в науке установление новых связей. Каждое из этих открытий ознаменовало также значительное усовершенствование языка, используемого учёными».

Андре Дальма, Эварист Галуа: революционер и математик, М., «Наука», 1984 г., с. 44-49.

Я вдруг осознал, что не помню теорию Галуа, и решил посмотреть, докуда я смогу добраться, не пользуясь бумагой и не зная ничего, кроме базовых понятий - поле, линейное пространство, многочлены одной переменной, схема Горнера, алгоритм Евклида, автоморфизм, группа подстановок. Ну, и плюс здравый смысл. Оказалось - довольно далеко, поэтому расскажу подробно.

Возьмем какое-нибудь поле К и неприводимый над ним многочлен А(х) степени р. Мы хотим расширить К так, чтобы А оказался разложим на линейные множители. Ну, начнем. Добавляем новый элемент а, про который мы знаем только то, что А(а)=0. Очевидно, придется добавить все степени а до (р-1)й, и все их линейные комбинации. Получится векторное пространство над К размерности р, в котором определены сложение и умножение. Но - ура! - деление тоже определено: любой многочлен В(х) степени, меньшей р, взаимно прост с А(х), и алгоритм Евклида дает нам В(х)С(х)+А(х)М(х)=1 для подходящих многочленов С и М. И тогда В(а)С(а)=1 - мы нашли обратный элемент для В(а). Итак, поле К(а) определено однозначно с точностью до изоморфизма, и у каждого его элемента есть однозначно определенное "каноническое выражение" через а и элементы К. Разложим А(х) над новым полем К(а). Один линейный множитель мы знаем, это (х-а). Поделим на него, результат разложим на неприводимые множители. Если они все линейны, мы победили, иначе берем какой-то нелинейный, и аналогично добавляем один его корень. И так далее до победы (считая по дороге размерность над К: на каждом шаге она на что-нибудь умножается). Назовем окончательный результат К(А).
Теперь ничего не требуется, кроме здравого смысла и понимания, что такое изоморфизм, чтобы понять: мы доказали Теорему.
Теорема. Для любого поля К и любого неприводимого над ним многочлена А(х) степени р существует единственное с точностью до изоморфизма расширение К(А) поля К с такими свойствами:
1. А(х) разлагатся над К(А) на линейные множители
2. К(А) порождается К и всеми корнями А(х)
3. Если Т - любое поле, содержащее К, над которым А(х) разлагается на линейные множители, то К и корни А(х) в Т порождают поле, изоморфное К(А) и инвариантное под действием любого автоморфизма Т, тождественного на К.
4. Группа автоморфизмов К(А), тождественных на К, действует перестановками на множестве корней А(х). Это действие точно и транзитивно. Ее порядок равен размерности К(А) над К.

Заметим, кстати, что если на каждом шаге процесса после деления на (х-а) оставался вновь неприводимый многочлен, то размерность расширения равна р!, и группа - полная симметрическая степени р. (На самом деле, очевидно, "если и только если".)
Например, так происходит, если А - многочлен общего вида. Что это такое? Это когда его коэффициенты а_0,а_1,...,а_р=1 алгебраически независимы над К. Ведь если мы поделим А(х) на х-а по схеме Горнера (это можно и в уме сделать, для того она и придумана такая простая), то увидим, что коэффициенты частного алгебраически независимы уже над К(а). Значит, по индукции все в кайф.

Думаю, после такого элементарного введения разобраться по любой книжке со всеми остальными деталями будет гораздо проще.

И очень понравилась. Стиллвелл показывает, как всего на 4-х страницах можно доказать знаменитую теорему о неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени и выше. Идея его подхода в том, что большая часть стандартного аппарата теории Галуа - нормальные расширения, сепарабельные расширения, и особенно "фундаментальная теорема теории Галуа" для этого применения практически не нужны; те их небольшие части, что нужны, можно в упрощенном виде вставить в текст доказательства.

Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах.

Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным:

1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u 1 ...u n , и строим поле Q 0 = Q(u 1 ...u n) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Q i и получать таким образом Q i+1 (формально говоря, Q i+1 это поле разложения многочлена x m -k, где k в Q i).

Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" x n + u 1 *x n-1 + u 2 *x n-2 ... будет раскладываться на линейные множители: (x-v 1)(x-v 2)....(x-v n). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q 0 до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3.

2. Пусть есть расширение E над Q(u 1 ...u n), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v 1 ...v n . Тогда можно доказать, что Q(v 1 ...v n) изоморфно Q(x 1 ...x n), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v 1 ...v n , корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v 1 ...v n) / Q(u 1 ...u n) с расширением Q(x 1 ...x n) / Q(a 1 ...a n), где a i - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v 1 ...v n , следует теперь, что любая перестановка v 1 ...v n порождает автоморфизм Q(v 1 ...v n), который таким образом перестанавливает корни.

3. Любое расширение Q(u 1 ...u n) в радикалах, которое включает в себя v 1 ...v n , можно расширить дальше в симметричное относительно v 1 ...v n расширение E". Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u 1 ...u n , а значит и через v 1 ...v n (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v 1 ...v n . В итоге E" обладает следующим свойством: любая перестановка v 1 ...v n расширяется до автоморфизма Q(v 1 ...v n), который расширяется до автоморфизма E", который при этом фиксирует все элементы Q(u 1 ...u n) (из-за симметричности формул Виета).

4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений G i = Gal(E"/Q i), т.е. автоморфизмы E", которые фиксируют все элементы Q i , где Q i - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u 1 ...u n) до E". Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая G i+1 является нормальной подргруппой G i , и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G 0 = Gal(E"/Q(u 1 ...u n)), и сходит до 1 = Gal(E"/E"), потому что автоморфизм E", фиксирующий E" целиком, есть только один.

5. Мы знаем из пункта 3, что G 0 включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v 1 ...v n есть автоморфизм в G 0 , расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и G i включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v 1 ...v n , которые циклично прокручивают 3 элемента), то и G i+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u 1 ...u n), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".